Wilt u ons werk financieel ondersteunen? Doe een kleine donatie en klik hier

De laatste updates in uw mail!

U hoeft niets te missen. leder weekend krijgt u de hoogtepunten van Maurice van afgelopen week in uw mail. Met opmerkelijke artikelen, meer achtergrond en toelichtingen.

Home » COVID-19 » Dataonderzoek: Exponentiele of lineaire groei? Een interessant statistisch-wiskundig experiment

Dataonderzoek: Exponentiele of lineaire groei? Een interessant statistisch-wiskundig experiment

Samenvatting van het artikel

PCR-testen zorgen er ook voor dat mensen die niet meer besmettelijk zijn toch een positieve uitslag krijgen. Maar dat zou betekenen dat bij een stijgende trend deze trend door dit verschijnsel in een bepaalde mate overdreven wordt. Er wordt nagegaan via een hypothetisch model wat dit zou kunnen betekenen.

Lees volledig artikel
Leestijd: 5 minuten

Doel

Van diverse kanten wordt erop gewezen dat de PCR-testen ook mensen als positief bestempelt terwijl men al niet meer besmettelijk is. Dat hangt o.a. samen met de CT-waardes van de test. Als er weinig mensen besmet zijn dan kunnen er nogal wat positieve uitslagen tussen zitten van mensen die op dat moment niet meer besmettelijk zijn. Als je er echter goed over nadenkt dat zou dit gegeven het effect kunnen hebben dat het bij een duidelijke groei van het positieve aantal testen de stijging sterker wordt aangezet.

Om te zien wat voor effect dat dan heeft hebben we een hypothetisch model opgesteld om daarvan de effecten te zien.

De aannames

Elke dag gedurende mei (4 mei tot en met 1 juni) zijn er 100 nieuwe besmettingen die (mogelijk) symptomen vertonen van COVID-19 en het ook daadwerkelijk hebben. Deze mensen zijn vanaf die dag nog zeven dagen besmettelijk. Vervolgens zijn ze tweeëntwintig dagen niet besmettelijk, maar zou de PCR-test wél positief uitkomen (net als bij die zeven dagen ervoor). Vanaf 2 juni loopt het aantal cases lineair op.

Vervolgens nemen we aan dat voor een besmettelijke persoon er gedurende die zeven dagen elke dag een kans van 2% is dat diegene zich laat testen (en positief bevonden wordt). Nadat de persoon niet meer besmettelijk is (na meer dan zeven dagen na de eerste symptomen) totdat de PCR-test ongeveer negatief zou gaan worden (na dertig dagen) is er elke dag een kans van 1% dat diegene zich laat testen. Al met al is er dus een kans van grofweg 40% dat iemand die besmet is zich laat testen (en dan gaan we ervan uit dat diegene ook positief wordt bevonden).

 

Bevindingen: lineaire groei

Doordat met de lineaire groei het aantal dagelijkse besmettingen oploopt, neemt het aantal cumulatieve besmettingen ook (exponentieel) toe, zoals we ook hadden verondersteld. Nadat de eerste maand verlopen is, zijn alle observaties van voor de lineaire groei inmiddels ‘vervangen’ (elke dag wordt de observatie van dertig dagen terug vervangen door die van de nieuwe dag). Als gevolg hiervan vlakt de exponentiële groei af en nadert het verloop van de grafiek lineairiteit (de limiet van t à ∞ geeft g = 1, wat lineairiteit impliceert). De lineaire groei die plaatsvindt heeft door de toenemende grootte van de dagelijkse aantallen steeds minder impact en de groeifactor blijft zakken (al zal deze in de praktijk nooit 1 of lager worden, technisch gezien is het dus nog wel licht exponentieel).

Aangezien dit model niet in lijn is met de daadwerkelijke rapportage van het aantal positief getesten (die – duidelijk – exponentieel blijft verlopen) kan de hypothese dat lineaire groei in het aantal dagelijkse besmettingen kan leiden tot exponentiële groei in het dagelijks aantal positief getesten dan over langere duur niet worden ondersteund. Echter, het is wel evident dat op kortere termijn een lineaire groei in het aantal besmettingen kan leiden tot een exponentiële groei in het aantal positief getesten. De groeifactor is ogenschijnlijk hoger, een effect dat nog verder versterkt kan worden door een gelijktijdige toename in de hoeveelheid tests.

Dit laat wel zien dat zelfs lineaire groei van het aantal besmettingen kan leiden tot een exponentiële groei in het aantal gerapporteerde gevallen. Dit effect kan ook plaatsvinden als exponentiële groei wordt verondersteld in plaats van lineaire groei, waarbij de exponent van de functie van de dagelijkse positief geteste gevallen hoger ligt dan de daadwerkelijke exponent van de dagelijkse toename in het aantal besmettingen.

Bevindingen: besmettelijkheid positief getesten

Zoals eerder besproken kan een onderscheid worden gemaakt tussen positief getesten die besmettelijk zijn en positief getesten die niet meer besmettelijk zijn. Initieel hebben de positieve testen van besmettelijke personen de overhand, aangezien door de lineair toenemende dagelijkse besmettingen het aannemelijker is dat iemand die besmet is, recent besmet is (en dus nog vaker besmettelijk is). In de loop van de eerste maand neemt het percentage van de niet-besmettelijken steeds meer toe. Dat betekent echter niet dat de niet-besmettelijken geen groot deel uit zouden kunnen maken van de positief getesten. Sterker nog, doordat de exponentiële factor eruit is komt er relatief meer gewicht te liggen op besmettingen die een tijdje terug zijn opgelopen en stijgt het percentage niet-besmettelijken onder de geteste personen.

Dat impliceert aan de andere kant ook weer niet dat onder die exponentiële groei de niet-besmettelijken een groot deel uit zouden kunnen maken van de positief getesten. Dat kunnen we onderzoeken door ons model te fitten naar de daadwerkelijke aantallen positief getesten en te observeren welke percentages van de getesten naar schatting wel of niet besmettelijk zijn. Belangrijk hierbij is op te merken dat de resultaten hiervan grotendeels afhankelijk zijn van de gekozen parameters en gemaakte aannames, met name betreffende de (relatieve) percentages voor de kans om je op een dag te laten testen.

Bevindingen: exponentiële groei

Vervolgens gaan we nu onze bevindingen van het model met de lineaire groei gebruiken om een model te creëren dat gefit is naar groei van het aantal besmettingen. We kijken hiervoor naar Nederland. Het lokale minimum van het aantal besmettingen gedurende de zomer van 2020 wordt bereikt op 11 juli, met een geschatte (smoothed) waarde van rond de 50.4. Vervolgens lijkt het aantal besmettingen met een redelijk stabiele dagelijkse groeifactor van gemiddeld ongeveer 5.16% op te lopen tot ongeveer 3000 begin oktober.

 

Belangrijk hierbij is op te merken dat het percentage testen elke dag met ongeveer 1.16% opliep. We nemen waar dat er in augustus een sterkere stijging is geweest in de hoeveelheid (aangewende) testcapaciteit en dat dit interessant genoeg gepaard gaat met een daling van het aantal positieve gevallen. Aangezien een toename in het aantal testen (zoals dit voorbeeld ook laat zien) niet per definitie impliceert dat er ook meer positieven (in aantal) worden gevonden, laten we dit getal even voor wat het is. Het zou hoe dan ook slechts een beperkte impact hebben gehad.

Als we uitgaan van een exponentiële groei van het aantal gevonden cases (met een groeifactor van 1.0516 per dag), dan kunnen we een schatting maken van de aandelen en aantallen besmettelijken en niet-besmettelijken in Nederland, op basis van de gemaakte aannames, gekozen parameters en de beschikbare data over het aantal positief getesten per dag vanaf 11 juli. Dit doen we door het eerder toegepaste model met een lineaire groei te veranderen in een model met een constante exponentiële groei met dagelijkse groeifactor 1.0516 van het aantal nieuwe cases per dag.

We beginnen in dit geval met een benadering van het aantal cases van 11 juli van 50.4 en eindigen met een aantal nieuwe dagelijkse cases van 3123.5 op 1 oktober. Dit wijkt in absolute termen wel wat af van de daadwerkelijke waarde van 1 oktober, maar dat ligt aan het feit dat de groeifactor voor de laatste dagen in werkelijkheid wat lager lag dan het gemiddelde van 5.16% (dat zou bijvoorbeeld kunnen komen doordat er nog wat onderrapportage is voor de meest recente dagen). Dit heeft op de absolute aantallen van de laatste dagen een groot effect, maar al met al volgt het model met de constante groeifactor de daadwerkelijke waarden goed (zie bovenstaande grafiek).

Het voordeel van de aanname dat de groei van het aantal besmettelijken exponentieel en met een constante groeifactor verloopt, is dat dat impliceert dat ook de percentages besmettelijken en niet-besmettelijken over de tijd constant zijn. Dat maakt het makkelijker om aannames te maken over deze waarden op toekomstige momenten (waarbij de huidige groeifactor ongeveer gehandhaafd blijft). Volgens deze modellering (en wederom, onder de gestelde aannamen en parameters) is het aantal verwachte niet-besmettelijken ongeveer 40.9%

Uiteindelijk volgt hieruit de grafiek die het totaal aantal positieve besmettingen per dag laat zien met hierbij tevens de (onder de veronderstelde parameters en aannames) verwachte besmettelijke en niet-besmettelijke gevallen:

De conclusies

De (hoofd)conclusies van het onderzoek zijn als volgt:

  • (Daadwerkelijke) lineaire groei (groeifactor 1) in het aantal besmettingen vanaf medio juli tot nu is niet waarschijnlijk. Er is een exponentiële groei in het aantal besmettingen te zien, wat overeenkomt met een waarde van de R0 die hoger ligt dan 1.
  • De exponentiële groei die te zien is in het aantal besmettingen zoals gerapporteerd door het RIVM wordt mogelijk versterkt door het hierboven beschreven zelfversterkende karakter van dit type wiskundige reeksen.
  • Onder de gestelde voorwaarden is het niet ondenkbaar dat een significant deel van de positieve testen (met de door ons gestelde voorwaarden ongeveer 41%) afkomstig is van een op dat moment niet-besmettelijke Dit percentage ligt door de huidige vertragingen in zowel het testen als de bekendmaking van de uitslag zo mogelijk nog (substantieel) hoger voor het moment dat positief geteste mensen de uitslag te horen krijgen.
Deel dit artikel: Twitter Facebook Linkedin WhatsApp
REACTIES
Reageer hier, maar met respect.

We verwelkomen respectvolle en relevante opmerkingen. Off-topic commentaren worden verwijderd. Als je illegale dingen doet, zullen we het verbieden.

  • MEER OVER
BEKIJK OOK
 

Bekijk het MDH Corona Journaal

Het laatste nieuws omtrent corona!

Bekijk het MDH Corona Journaal

Bekijk het laatste nieuws
omtrent corona!